Question

8．已知函数f（x）=x-ax²-lnx（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为-2，求a的值以及切线方程；
（2）当a=-1时，求f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）先求函数f（x）的导数，再根据导数的几何意义列式求出a值，最后再根据直线的方程写出切线的方程即可．
（2）对函数求导，讨论函数的单调性，即可得到f（x）的极小值．

解答 解：（1）f（x）=x-ax²-lnx的导数为
f′（x）=1-2ax-$\frac{1}{x}$．
由题设，f′（1）=-2a=-2，
解得a=1，
此时f（1）=0，切线方程为y=-2（x-1），
即2x+y-2=0；
（2）当a=-1时，f（x）=x+x²-lnx，
f′（x）=1+2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}+x-1}{x}$
=$\frac{（2x-1）（x+1）}{x}$，（x＞0），
令f′（x）＞0，可得x＞$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{1}{2}$，
可得x=$\frac{1}{2}$处f（x）取得极小值，且为$\frac{3}{4}$+ln2．

点评 本题主要考查了利用函数的导数判断函数的单调性，导数的几何意义在切线的求解中的应用，属于中档题．