Question

 

    已知函数f（x）＝ax－lnx（a为常数）．

    （Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的最小值；

    （Ⅱ）求函数f（x）在[1，＋∞）上的最值；

    （Ⅲ）试证明对任意的n∈N﹡都有＜1．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解（1）当时，函数=，

∵，令得

∵当时，   ∴函数在上为减函数

∵当时   ∴函数在上为增函数

∴当时，函数有最小值，      --------3分

（2）∵

若，则对任意的都有，∴函数在上为减函数

∴函数在上有最大值，没有最小值，； --------4分

若，令得

当时，，当时，函数在上为减函数

当时   ∴函数在上为增函数

∴当时，函数有最小值，   ------6分

当时，在恒有

∴函数在上为增函数，

函数在有最小值，．   ---------7分

综上得：当时，函数在上有最大值，，没有最小值；

当时，函数有最小值，，没有最大值；

当时，函数在有最小值，，没有最大值．---8分

（3）由（1）知函数=在上有最小值1

即对任意的都有，即，      ---------10分

当且仅当时“＝”成立

∵       ∴且

∴

∴对任意的都有． ……12分