Question

（2012•西城区一模）对于数列A_n：a₁，a₂，…，a_n（a_i∈N，i=1，2，…，n），定义“T变换”：T将数列A_n变换成数列B_n：b₁，b₂，…，b_n，其中b_i=|a_i-a_i+1|（i=1，2，…，n-1），且b_n=|a_n-a₁|，这种“T变换”记作B_n=T（A_n）．继续对数列B_n进行“T变换”，得到数列C_n，…，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
（Ⅰ）试问A₃：4，2，8和A₄：1，4，2，9经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）求A₃：a₁，a₂，a₃经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件；
（Ⅲ）证明：A₄：a₁，a₂，a₃，a₄一定能经过有限次“T变换”后结束．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据新定义，可得数列A₃：4，2，8不能结束，数列A₄：1，4，2，9能结束，并可写出各数列；
（Ⅱ）A₃经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a₁=a₂=a₃，先证明a₁=a₂=a₃，则经过一次“T变换”就得到数列0，0，0，从而结束，再证明命题“若数列T（A₃）为常数列，则A₃为常数列”，即可得解；
（Ⅲ）先证明引理：“数列T（A_n）的最大项一定不大于数列A_n的最大项，其中n≥3”，再分类讨论：第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max（B₄）≤max（A₄）-1．
第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max（B₄）=max（A₄）．证明第二类数列A₄经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列．

解答：（Ⅰ）解：数列A₃：4，2，8不能结束，各数列依次为2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． …（2分）
数列A₄：1，4，2，9能结束，各数列依次为3，2，7，8；1，5，1，5；4，4，4，4；0，0，0，0．…（3分）
（Ⅱ）解：A₃经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a₁=a₂=a₃．…（4分）
若a₁=a₂=a₃，则经过一次“T变换”就得到数列0，0，0，从而结束． …（5分）
当数列A₃经过有限次“T变换”后能够结束时，先证命题“若数列T（A₃）为常数列，则A₃为常数列”．
当a₁≥a₂≥a₃时，数列T（A₃）：a₁-a₂，a₂-a₃，a₁-a₃．
由数列T（A₃）为常数列得a₁-a₂=a₂-a₃=a₁-a₃，解得a₁=a₂=a₃，从而数列A₃也为常数列．
其它情形同理，得证．
在数列A₃经过有限次“T变换”后结束时，得到数列0，0，0（常数列），由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列A₃也为常数列． …（8分）
所以，数列A₃经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a₁=a₂=a₃．
（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列T（A_n）的最大项一定不大于数列A_n的最大项，其中n≥3”．
证明：记数列A_n中最大项为max（A_n），则0≤a_i≤max（A_n）．
令B_n=T（A_n），b_i=a_p-a_q，其中a_p≥a_q．
因为a_q≥0，所以b_i≤a_p≤max（A_n），
故max（B_n）≤max（A_n），证毕．       …（9分）
现将数列A₄分为两类．
第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max（B₄）≤max（A₄）-1．
第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max（B₄）=max（A₄）．
下面证明第二类数列A₄经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列．
不妨令数列A₄的第一项为0，第二项a最大（a＞0）．（其它情形同理）
①当数列A₄中只有一项为0时，
若A₄：0，a，b，c（a＞b，a＞c，bc≠0），则T（A₄）：a，a-b，|b-c|，c，此数列各项均不为0
或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；
若A₄：0，a，a，b（a＞b，b≠0），则T（A₄）：a，0，a-b，b；T（T（A₄））：a，a-b，|a-2b|，a-b
此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；
若A₄：0，a，b，a（a＞b，b≠0），则T（A₄）：a，a-b，a-b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；
若A₄：0，a，a，a，则T（A₄）：a，0，0，a；T（T（A₄））：a，0，a，0；T（T（T（A₄）））：a，a，a，a，
此数列各项均不为0，为第一类数列．
②当数列A₄中有两项为0时，若A₄：0，a，0，b（a≥b＞0），则T（A₄）：a，a，b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；
若A₄：0，a，b，0（a≥b＞0），则T（A）：a，a-b，b，0，T（T（A））：b，|a-2b|，b，a，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．
③当数列A₄中有三项为0时，只能是A₄：0，a，0，0，则T（A）：a，a，0，0，T（T（A））：0，a，0，a，T（T（T（A）））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．
总之，第二类数列A₄至多经过3次“T变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T变换”，数列的最大项又开始减少．
又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束．…（13分）

点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，难度较大．