Question

4．设函数f（x）=|x-2|-|x+1|-1，g=-x+a．
（1）求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简函数的解析式，分类讨论求得x的取值范围．
（2）分类讨论求得方程f（x）=g（x）的解集，结合x的范围，求得对应的a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-2|-|x+1|-1=$\left\{\begin{array}{l}{-4，x≥2}\\{-2x，-1≤x＜2}\\{2，x＜-1}\end{array}\right.$，
当x≥2时，f（x）=-4，不合题意；
当-1≤x＜2时，f（x）=-2x≥0，解得-1≤x≤0；
当x＜-1时，f（x）=2＞0，符合题意．
综上，f（x）≥0的解集为（-∞，0]．
（2）当x≥2时，方程f（x）=g（x），即-4=-x+a，解得：x=a+4；
当-1≤x＜2 时，方程f（x）=g（x），即-2x=-x+a，解得：x=-a；
当x＜-1时，方程f（x）=g（x），即2=-x+a，解得：x=a-2．
使方程方程f（x）=g（x）有三个不同的解，则$\left\{\begin{array}{l}{a+4≥2}\\{-1≤a＜2}\\{a-2＜-1}\end{array}\right.$，解得：-2＜a＜1．
所以a的取值范围是（-2，1）．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求方程的解，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．