Question

9．（1）求函数y=（2x²-3）$\sqrt{1+{x^2}}$的导数．
（2）设函数f（x）=（xlnx）^-1（x＞0且x≠1）．求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据导数的运算法则计算即可；（2）求出f′（x），解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）y′=（2x²-3）′$\sqrt{1{+x}^{2}}$+（2x²-3）${（\sqrt{1{+x}^{2}}）}^{′}$=4x$\sqrt{1{+x}^{2}}$+$\frac{{2x}^{3}-3x}{\sqrt{1{+x}^{2}}}$；
（2）∵f′（x）=-$\frac{lnx+1}{{{x}^{2}ln}^{2}x}$，
∴由f′（x）=-$\frac{lnx+1}{{{x}^{2}ln}^{2}x}$＞0得：lnx+1＜0，
∴x＜$\frac{1}{e}$，又x＞0，
∴0＜x＜$\frac{1}{e}$，
由f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递增，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递减．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，熟练掌握求导公式是解题关键，本题是一道基础题．