Question

14．已知f（x）=ax，g（x）=e^x，若?x₀∈[0，2]，f（x₀）＞g（x₀），则实数a的取值范围是（e，+∞）．

Answer 1

分析 方法一：分别画出y=ax与y=e^x的图形，结合图可知答案，
方法二：命题“?x₀∈[0，2]，f（x₀）＞g（x₀）的否定是“?x∈[0，2]，ax≤e^x”，然后同一可得．

解答 解法一：命题“?x₀∈[0，2]，f（x₀）＞g（x₀）
也就是命题“?x₀∈[0，2]，$a{x_0}＞{e^{x_0}}$”，
若y=ax是y=e^x的是y=e^x的切线，
有a=e，切点横坐标x=1∈[0，2]，
由图可知，只要a＞e即可．
解法二：命题“?x₀∈[0，2]，f（x₀）＞g（x₀）
的否定是“?x∈[0，2]，ax≤e^x”，
若y=ax是y=e^x的是y=e^x的切线，有a=e，切点横坐标x=1∈[0，2]，
由图可知，a≤e时，命题“?x∈[0，2]，ax≤e^x”为真，
因此命题“?x₀∈[0，2]，$a{x_0}＞{e^{x_0}}$”为真时，应该有a＞e．
故答案为：（e，+∞）

点评 本题考查了函数存在性问题，以及参数的取值范围，属于中档题．