Question

3．如图茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员训练的成绩（环数），射击次数为4次．
（1）试比较甲、乙两名运动员射击水平的稳定性；
（2）每次都从甲、乙两组数据中随机各选取一个进行比对分析，共选取了4次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）分别求出甲、乙训练的成绩的平均数和方差，由此能求出结果．
（2）当乙选取5环时，一定满足要求，当乙选取7环时，甲只能从9环、10环中选取，从而求出甲的成绩大于乙的成绩的概率，ξ的取值分别是0，1，2，3，4，且ξ～B（4，$\frac{3}{8}$），由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{1}{4}$（6+7+9+10）=8，
$\overline{{x}_{乙}}$=$\frac{1}{4}$（5+7+10+10）=8，
${{S}_{甲}}^{2}$=$\frac{1}{4}$[（6-8）²+（7-8）²+（9-8）²+（10-8）²]=$\frac{5}{2}$，
${{S}_{乙}}^{2}$=$\frac{1}{4}$[（5-8）²+（7-8）²+（10-8）²+（10-8）²]=$\frac{9}{2}$，
∵$\overline{{x}_{甲}}$=$\overline{{x}_{乙}}$，${{S}_{甲}}^{2}$＜${{S}_{乙}}^{2}$，
∴甲运动员的射击水平平稳．
（2）当乙选取5环时，一定满足要求，此时的概率为p₁=$\frac{1}{4}×1=\frac{1}{4}$，
当乙选取7环时，甲只能从9环、10环中选取，此时的概率为${p}_{2}=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，
∴甲的成绩大于乙的成绩的概率为p=p₁+p₂=$\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$．
依题意，ξ的取值分别是0，1，2，3，4，且ξ～B（4，$\frac{3}{8}$），
∴p（ξ=0）=${（{\frac{5}{8}}）^4}=\frac{625}{4096}$，
p（ξ=1）=$C_4^1\frac{3}{8}{（{\frac{5}{8}}）^3}=\frac{375}{1024}$，
$p（{ξ=2}）=C_4^2{（{\frac{3}{8}}）^2}{（{\frac{5}{8}}）^2}=\frac{675}{2048}$，
$p（{ξ=3}）=C_4^3{（{\frac{3}{8}}）^3}\frac{5}{8}=\frac{135}{1024}$，
$p（{ξ=4}）={（{\frac{3}{8}}）^4}=\frac{81}{4096}$，
因此，ξ的分布列如下：

ζ	0	1	2	3	4
P	$\frac{625}{4096}$	$\frac{375}{1024}$	$\frac{675}{2048}$	$\frac{135}{1024}$	$\frac{81}{4096}$

∴Eξ=4×$\frac{3}{8}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查平均数、方差的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．