Question

设函数f（x）=lnx，有以下4个命题：
①对任意的x₁、x₂∈（0，+∞），有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

；
②对任意的x₁、x₂∈（1，+∞），有f（x₁）-f（x₂）＜x₂-x₁；
③对任意的x₁、x₂∈（e，+∞），有x₁f（x₂）＜x₂f（x₁）；
④对任意的0＜x₁＜x₂，总有x₀∈（x₁，x₂），使得f(x0)≤

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．其中正确的是

 

（填写序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：①利用对数的运算性质以及基本不等式进行判断．
②根据函数的单调性的定义和性质进行判断．
③根据曲线斜率的几何意义进行判断．
④利用特殊值法进行排除．

解答： 解：∵f（x）=lnx是（0，+∞）上的增函数，
∴对于①由f(

x1+x2

2

)=ln

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=ln

x1x2

，∵

x1+x2

2

＞

x1x2

故f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

  故①错误．
对于②③，不妨设x₁＜x₂则有f（x₁）＜f（x₂），
故由增函数的定义得f（x₁）-f（x₂）＜x₂-x₁ 故②正确，
③不等式等价为

f(x2)

x2

＜

f(x1)

x1

，则

f(x)

x

的几何意义为曲线上的点到原点的斜率，由图象知

f(x2)

x2

＜

f(x1)

x1

不一定成立，③错误；
对于④令e=x₁＜x₂=e²，得

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

1

e2-e

＜1，
∵x₀∈（x₁，x₂），∴f（x₀）＞f（x₁）=1，不满足f(x0)≤

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．故④错误．
故答案为②．

点评：本题考查对数函数的图象与性质的理解运用能力以及判断命题真假的方法，如特例法．