Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2

3

，A、B两点分别是椭圆E的右顶点、上顶点，且直线AB与圆O：x²+y²=

4

5

相切
（1）求椭圆E的方程；
（2）过原点O任作两条相互垂直的射线交椭圆E于P、Q两点，试判断直线PQ是否总与圆O相切，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

ab a2+b2 = 2 5 5 c= 3 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆E的方程．
（2）当k_OP不存在时，直线PQ与圆O相切；当k_OP存在时，设OP：y=kx（k＞0），代入椭圆方程x²+4k²y²=4，能推导出直线PQ与圆O：x2+y2=

4

5

总相切．

解答： 解：（1）直线AB：

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
∴

ab a2+b2 = 2 5 5 c= 3 a2=b2+c2

，解得a²=4，a2=

3

5

（舍去），∴b²=1，
∴椭圆E：

x2

4

+y2=1．…6分
（2）当k_OP不存在时，直线PQ是与问题（2）中的圆O：x2+y2=

4

5

相切；
当k_OP存在时，设OP：y=kx（k＞0），代入椭圆方程x²+4k²x²=4，
∴x2=

4

1+4k2

，取x_P=

2

1+4k2

＞0，以-

1

k

代k，得x_Q=

2k

k2+4

，
∴|OP|=

1+k2

•

2

1+4k2

，
|OQ|=

1+ 1 k2

•

2k

k2+4

=

1+k2

•

2

k2+4

，
因OP⊥OQ，
∴|PQ|=

4(1+k2) 1+4k2 + 4(1+k2) k2+4

=2

1+k2

•

5k2+5

1+4k2 • k2+4

=

2 5 (1+k2)

1+4k2 • k2+4

，
设边PQ上的高为h，由面积法

1

2

•

1+k2

•

2

1+4k2

•

1+k2

•

2

k2+4

=

1

2

•

2 5 (1+k2)

1+4k2 • k2+4

•h，
∴h=

2 5

5

，故直线PQ与圆O：x2+y2=

4

5

总相切，
同理，由对称性可知，当k＜0时，及x_p＜0，结论也成立．…12分．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆是否总相切的判断，解题时要认真审题，注意面积法的合理运用．