【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ< )的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为
,且图象上一个最高点为M(
,3).
(1)求f(x)的解析式;
(2)先把函数y=f(x)的图象向左平移 个单位长度,然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,试写出函数y=g(x)的解析式.
(3)在(2)的条件下,若总存在x0∈[﹣ ,
],使得不等式g(x0)+2≤log3m成立,求实数m的最小值.
【答案】
(1)解:∵ T=
,
∴T= =π,解得ω=2;
又函数f(x)=Asin(2x+φ)图象上一个最高点为M( ,3),
∴A=3,2× +φ=2kπ+
(k∈Z),
∴φ=2kπ+ (k∈Z),又0<φ<
,
∴φ= ,
∴f(x)=3sin(2x+ )
(2)解:把函数y=f(x)的图象向左平移 个单位长度,得到f(x+
)=3sin[2(x+
)+
]=3cos2x;
然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)=3cosx的图象,
即g(x)=3cosx
(3)解:∵x0∈[﹣ ,
],∴﹣
≤cosx0≤1,﹣
≤3cosx0≤3,
依题意知,log3m≥(﹣ )+2=
,
∴m≥ ,即实数m的最小值为
【解析】(1)依题意知 T=
,由此可求得ω=2;又函数f(x)=Asin(2x+φ)图象上一个最高点为M(
,3),可知A=3,2×
+φ=2kπ+
(k∈Z),结合0<φ<
可求得φ,从而可得f(x)的解析式;(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求得函数y=g(x)的解析式;(3)x0∈[﹣
,
]﹣
≤cosx0≤1,﹣
≤3cosx0≤3,依题意知,log3m≥(﹣
)+2=
,从而可求得实数m的最小值.
【考点精析】利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换对题目进行判断即可得到答案,需要熟知图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数
的图象;再将函数
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数
的图象;再将函数
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
倍(横坐标不变),得到函数
的图象.
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【题目】为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了3600人调查,就是否“取消英语听力”的问题,调查统计的结果如下表:
| 应该取消 | 应该保留 | 无所谓 | |
在校学生 | 2100人 | 120人 | y人 | |
社会人士 | 600人 | x人 | z人 |
已知在全体样本中随机抽取1人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.
(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈,问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人?
(2)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流,求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望.
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【题目】如图, 、
分别为直角三角形
的直角边
和斜边
的中点,沿
将
折起到
的位置,连结
、
,
为
的中点.
(1)求证: 平面
;(2)求证:平面
平面
;
(3)求证: 平面
.
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【题目】已知数列{an},{bn}满足a1=1,an+1=2an+1,b1=4,bn﹣bn﹣1=an+1(n≥2).
(1)求证:数列{an+1}是等比数列;
(2)求数列{an},{bn}的通项公式.
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【题目】如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.
(1)求渔船甲的速度;
(2)求sinα的值.
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【题目】如图所示, 是某海湾旅游区的一角,其中
,为了营造更加优美的旅游环境,旅游区管委会决定在直线海岸
和
上分别修建观光长廊
和AC,其中
是宽长廊,造价是
元/米,
是窄长廊,造价是
元/米,两段长廊的总造价为120万元,同时在线段
上靠近点
的三等分点
处建一个观光平台,并建水上直线通道
(平台大小忽略不计),水上通道的造价是
元/米.
(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目,要求
的面积最大,那么
和
的长度分别为多少米?
(2) 在(1)的条件下,建直线通道还需要多少钱?
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【题目】如图所示,四边形中,
,
,
,将
沿
折起,使平面
平面
,构成四面体
,则在四面体
中,下列说法不正确的是( ).
A. 直线直线
B. 直线
直线
C. 直线平面
D. 平面
平面
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【题目】已知: 、
、
是同一平面内的三个向量,其中
=(1,2)
(1)若| |=2
,且
∥
,求
的坐标;
(2)若| |=
,且
+2
与2
﹣
垂直,求v与
的夹角θ.
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