Question

【题目】已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最高点为M（ ，3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）先把函数y=f（x）的图象向左平移 个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，试写出函数y=g（x）的解析式．
（3）在（2）的条件下，若总存在x0∈[﹣ ， ]，使得不等式g（x0）+2≤log3m成立，求实数m的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ T= ，

∴T= =π，解得ω=2；

又函数f（x）=Asin（2x+φ）图象上一个最高点为M（ ，3），

∴A=3，2× +φ=2kπ+ （k∈Z），

∴φ=2kπ+ （k∈Z），又0＜φ＜ ，

∴φ= ，

∴f（x）=3sin（2x+ ）

（2）解：把函数y=f（x）的图象向左平移 个单位长度，得到f（x+ ）=3sin[2（x+ ）+ ]=3cos2x；

然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=3cosx的图象，

即g（x）=3cosx

（3）解：∵x0∈[﹣ ， ]，∴﹣ ≤cosx0≤1，﹣ ≤3cosx0≤3，

依题意知，log3m≥（﹣ ）+2= ，

∴m≥ ，即实数m的最小值为

【解析】（1）依题意知 T= ，由此可求得ω=2；又函数f（x）=Asin（2x+φ）图象上一个最高点为M（ ，3），可知A=3，2× +φ=2kπ+ （k∈Z），结合0＜φ＜ 可求得φ，从而可得f（x）的解析式；（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得函数y=g（x）的解析式；（3）x0∈[﹣ ， ]﹣ ≤cosx0≤1，﹣ ≤3cosx0≤3，依题意知，log3m≥（﹣ ）+2= ，从而可求得实数m的最小值．
【考点精析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换对题目进行判断即可得到答案，需要熟知图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．