Question

【题目】已知数列{an}，{bn}满足a1=1，an+1=2an+1，b1=4，bn﹣bn﹣1=an+1（n≥2）．
（1）求证：数列{an+1}是等比数列；
（2）求数列{an}，{bn}的通项公式．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：由an+1=2an+1得an+1+1=2（an+1），

又an+1≠0，∴ ，即{an+1}为等比数列．

（2）

解：由（1）知an+1=（a1+1）qn﹣1=22n﹣1=2n，

∴ ， ，

将以上n﹣1个式子累加可得 ，又b1=4，

故 ．

【解析】（1）由an+1=2an+1得an+1+1=2（an+1），即可证明．（2）由（1）知an+1=2n ， 可得： ，利用“累加求和”方法与等比数列的求和公式即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的通项公式（及其变式）的相关知识，掌握通项公式：，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．