Question

【题目】设函数的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中为自然对数的底数.

（1）求的解析式，并证明：当时，；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据奇函数，偶函数即可得到，联立，即可解出时，容易得出，而由基本不等式即可求出；（2）代入原不等式便可得出，可令，得到，容易得出，进而得出，根据基本不等式即可求出，这样即可得出的取值范围.

试题解析：（1），.

证明：当时，，，故

又由基本不等式，有，即-

（2）由条件知m（ex－e－x＋1）≤e－x－1在（0，＋∞）上恒成立．

令t＝ex（x＞0），则t＞1，

因为在R上为增函数，所以，

所以m≤－＝－对任意t＞1成立．

因为,

所以，=－

当且仅当t＝2,即x＝ln2时等号成立．

因此实数m的取值范围是 .