【题目】已知函数.
(Ⅰ)的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)已知a,b,c是△ABC三边长,且f(C)=2,△ABC的面积S=,c=7.求角C及a,b的值.
【答案】(1)π, 函数f(x)的递增区间是[﹣+kπ,
+kπ],k∈Z;(2) a=8,b=5或a=5,b=8.
【解析】试题分析: 解析式利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的余弦函数公式化简,整理为一个角的正弦函数,找出
的值代入周期公式即可求出
的最小正周期,利用正弦函数的单调性即可求出
的单调递增区间。
由
,根据第一问确定出的解析式求出
的度数,利用三角形面积公式列出关系式,将
值代入求出
的值,利用余弦定理列出关系式,将
代入求出
的值,联立即可求出
的值。
解析:(Ⅰ)f(x)=sin2xcos+cos2xsin
+sin2xcos
﹣cos2xsin
+cos2x+1=
sin2x+cos2x+1=2sin(2x+
)+1,
∵ω=2,∴T==π;
令﹣+2kπ≤2x+
≤
+2kπ,k∈Z,得到﹣
+kπ≤x≤
+kπ,k∈Z,
则函数f(x)的递增区间是[﹣+kπ,
+kπ],k∈Z;
(Ⅱ)由f(C)=2,得到2sin(2C+)+1=2,即sin(2C+
)=
,
∴2C+=
或2C+
=
,
解得:C=0(舍去)或C=,
∵S=10,
∴absinC=
ab=10
,即ab=40①,
由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC,即49=a2+b2﹣ab,
将ab=40代入得:a2+b2=89②,
联立①②解得:a=8,b=5或a=5,b=8.
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【题目】设函数的定义域均为
,且
是奇函数,
是偶函数,
,其中
为自然对数的底数.
(1)求的解析式,并证明:当
时,
;
(2)若关于的不等式
在
上恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,0≤≤π)为偶函数,其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若 ,求
的值.
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【题目】有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩后,得到如下的列联表.
已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.
(1)请完成上面的列联表:若按的可靠性要求,根据列联表的数据,能否认为“成绩与班级有关系”;
(2)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到10号的概率.
附:
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【题目】如图,正方体的棱长为
,动点
、
在棱
上,动点
,
分别在棱
,
上,若
,
,
,
(
,
,
大于零),则四面体
的体积( ).
A. 与,
,
都有关 B. 与
有关,与
,
无关
C. 与有关,与
,
无关 D. 与
有关,与
,
无关
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【题目】某厂有4台大型机器,在一个月中,一台机器至多出现1次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的,出现故障时需1名工人进行维修,每台机器出现故障需要维修的概率为.
(1)若出现故障的机器台数为,求
的分布列;
(2) 该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%?
(3)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力,每月需支付给每位工人1万元的工资,每台机器不出现故障或出现故障能及时维修,就使该厂产生5万元的利润,否则将不产生利润,若该厂现有2名工人,求该厂每月获利的均值.
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【题目】如图所示,正方体的棱长为1,
分别是棱
的中点,过直线
的平面分别与棱
交于
,设
,
,给出以下四个命题:
①
②当且仅当时,四边形
的面积最小;
③四边形周长
,
,则
是奇函数;
④四棱锥的体积
为常函数;
其中正确命题的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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