Question

8．若数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，且a₁=1，S_n+1+S_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$（n∈N^*），则a₂₅=5-2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由题意可得a_n+1-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=-（an+$\frac{1}{{a}_{n}}$），分别令n=1，2，3，求出a₁，a₂，a₃，a₄，即可猜想答案．

解答 解：∵S_n+1+S_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$（n∈N^*），
∴S_n+S_n-1=$\frac{1}{{a}_{n}}$（n≥2），
∴S_n+1+S_n-S_n-S_n-1=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴a_n+1+a_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴a_n+1-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=-（an+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
∴a₂-$\frac{1}{{a}_{2}}$=-（a₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$）=-2，解得a₂=$\sqrt{2}$-1，
∴a₃-$\frac{1}{{a}_{3}}$=-（a₂+-$\frac{1}{{a}_{2}}$）=-（$\sqrt{2}$-1+$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$）=-2$\sqrt{2}$，解得a₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
a₄-$\frac{1}{{a}_{4}}$=-（a₃+$\frac{1}{{a}_{3}}$）=-（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$）=-2$\sqrt{3}$，解得a₄=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$，
于是可以猜想，
a₂₅=$\sqrt{25}$-$\sqrt{24}$=5-2$\sqrt{6}$，
故答案为：5-2$\sqrt{6}$，

点评 本题考查了数列的递推公式和方程的解法的问题，关键是寻找规律，属于中档题．