Question

16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x（1-x），若数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，且a_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，则f（a₂₀₁₅）+f（a₂₀₁₆）=（　　）

• A． -8
• B． 8
• C． -4
• D． 4

Answer 1

分析 根据条件设x＞0，从而有-x＜0，这样即可求出f（x）=x（1+x），根据${a}_{1}=\frac{1}{2}$，且${a}_{n+1}=\frac{1}{1-{a}_{n}}$可求数列{a_n}的前四项，从而会发现该数列是以3为周期的周期数列，这样便可以求出a₂₀₁₅和a₂₀₁₆的值，从而可求出f（a₂₀₁₅）+f（a₂₀₁₆）的值．

解答 解：设x＞0，则-x＜0；
∵f（x）是定义在R上的奇函数；
∴f（x）=-f（-x）=-[-x（1+x）]=x（1+x）；
由${a}_{1}=\frac{1}{2}$，且${a}_{n+1}=\frac{1}{1-{a}_{n}}$得：
${a}_{2}=\frac{1}{1-{a}_{1}}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$，${a}_{3}=\frac{1}{1-{a}_{2}}=\frac{1}{1-2}=-1$，${a}_{4}=\frac{1}{1-{a}_{3}}=\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$，…；
∴数列{a_n}是以3为周期的周期数列；
∴a₂₀₁₅=a_671×3+2=a₂=2，a₂₀₁₆=a_671×3+3=a₃=-1；
∴f（a₂₀₁₅）+f（a₂₀₁₆）=f（2）+f（-1）=2（1+2）+（-1）（1+1）=4．
故选：D．

点评 考查奇函数的定义，对于奇函数，已知一区间上的解析式，而求其对称区间上的解析式的方法，根据数列的首项和递推公式可以求该数列的前几项，以及周期数列的概念，已知函数求值的方法．