Question

6．已知p，m＞0，抛物线E：x²=2py上一点M（m，2）到抛物线焦点F的距离为$\frac{5}{2}$．
（Ⅰ）求p和m的值；
（Ⅱ）如图所示，过F作抛物线E的两条弦AC和BD（点A、B在第一象限），若k_AB+4k_CD=0，求证：直线AB经过一个定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线的定义列出关于p的方程，求出p，得到抛物线的方程，把点M（m，2）的坐标代入，解得m．
（Ⅱ）解法1：设AB、AC的方程为y=k₁x+b，$y={k_2}x+\frac{1}{2}$与抛物线方程联立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），利用韦达定理，结合k_AB+4k_CD=0，求解即可．
解法2：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），设AC的方程为，$y=kx+\frac{1}{2}$，与抛物线方程联立，得x²-2kx-1=0，推出x₁x₃=-1，同理，x₂x₄=-1，求出直线AB的方程为$y-\frac{x_1^2}{2}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}（x-{x_1}）$化简得直线AB恒经过点（0，-2）．

解答 解：（Ⅰ）由点M（m，2）到抛物线焦点F的距离为$\frac{5}{2}$，
结合抛物线的定义得，$2+\frac{p}{2}=\frac{5}{2}$，即p=1，---------------------------------------（2分）
抛物线的方程为x²=2y，把点M（m，2）的坐标代入，可解得m=2；------------------（3分）
（Ⅱ）解法1：显然直线AB、AC的斜率都存在，
分别设AB、AC的方程为y=k₁x+b，$y={k_2}x+\frac{1}{2}$---------------------------------（4分）
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_1}x+b}\\{{x^2}=2y}\end{array}}\right.$，得x²-2k₁x-2b=0，------------------------------------------（5分）
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_2}x+\frac{1}{2}}\\{{x^2}=2y}\end{array}}\right.$，得x²-2k₂x-1=0，-------------------------------------------（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
则x₁x₂=-2b，x₁x₃=-1，同理，x₂x₄=-1，--------------------------------------（7分）
故${k_{AB}}+4{k_{CD}}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}+4•\frac{{{y_4}-{y_3}}}{{{x_4}-{x_3}}}$=$\frac{{\frac{1}{2}（x_2^2-x_1^2）}}{{{x_2}-{x_1}}}+4•\frac{{\frac{1}{2}（x_4^2-x_3^2）}}{{{x_4}-{x_3}}}$---------------------（8分）
=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}+2（{x_3}+{x_4}）=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}-2（\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}）=0$，-----------------------------------（9分）
注意到点A、B在第一象限，x₁+x₂≠0，∴$\frac{1}{2}-\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}=0$---------------------------（10分）
故得x₁x₂=4，-2b=4，∴b=-2，即直线恒经过点（0，-2）．----------------------（12分）
解法2：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
显然直线AC的斜率都存在，设AC的方程为，$y=kx+\frac{1}{2}$----------------------------（4分）
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}}\\{{x^2}=2y}\end{array}}\right.$，得x²-2kx-1=0，---------------------------------------------（5分）
∴x₁x₃=-1，同理，x₂x₄=-1，--------------------------------------------------（6分）
故${k_{AB}}+4{k_{CD}}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}+4•\frac{{{y_4}-{y_3}}}{{{x_4}-{x_3}}}$=$\frac{{\frac{1}{2}（x_2^2-x_1^2）}}{{{x_2}-{x_1}}}+4•\frac{{\frac{1}{2}（x_4^2-x_3^2）}}{{{x_4}-{x_3}}}$---------------------（8分）
=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}+2（{x_3}+{x_4}）=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}-2（\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}）=0$，-----------------------------------（9分）
注意到点A、B在第一象限，x₁+x₂≠0，
∴$\frac{1}{2}-\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}=0$，故得x₁x₂=4，-------------------------------------------------（10分）
直线AB的方程为$y-\frac{x_1^2}{2}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}（x-{x_1}）$化简得$y=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}x-\frac{{{x_1}{x_2}}}{2}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}x-2$
即直线AB恒经过点（0，-2）．----------------------------------------------------（12分）．

点评 本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．