Question

18．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数$f（x）=sin（{2x+B}）+\sqrt{3}cos（{2x+B}）$为偶函数，$b=f（{\frac{π}{12}}）$
（1）求b；
（2）若a=3，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的辅助角公式进行化简，结合三角函数是偶函数，建立方程关系进行求解即可．
（2）根据正弦定理先求出A，然后根据三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：（1）在△ABC中，$f（x）=sin（{2x+B}）+\sqrt{3}cos（{2x+B}）=2sin（{2x+B+\frac{π}{3}}）$
由f（x）为偶函数可知$B+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，所以$B=\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$
又0＜B＜π，故$B=\frac{π}{6}$
所以$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{2}}）=2cos2x{，_{\;}}b=f（{\frac{π}{12}}）=\sqrt{3}$…（6分）
（2）∵$B=\frac{π}{6}$，b=$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理得sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
当A=$\frac{π}{3}$时，则C=π-$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，△ABC的面积S=$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
当$A=\frac{2π}{3}$时，则C=π-$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$=，△△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$…（12分）

点评 本题主要考查三角函数的正弦定理的应用以及三角形面积的计算，根据正弦定理是解决本题的关键．