Question

10．已知公比小于1的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=$\frac{2}{3}$，且13a₂=3S₃（n∈N^*）．
（I） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃（1-S_n+1），若$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{25}{51}$，求n．

Answer 1

分析 （I）通过将a₁=$\frac{2}{3}$，a₂=$\frac{2}{3}$q，a₃=$\frac{2}{3}$q²代入13a₂=3S₃计算可知q=$\frac{1}{3}$或q=3（舍），进而可得通项公式；
（Ⅱ）通过（I）可知S_n+1=1-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，进而可知b_n=-（n+1），裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，并项相加即得结论．

解答 解：（I）依题意，a₂=$\frac{2}{3}$q，a₃=$\frac{2}{3}$q²，
∵13a₂=3S₃，
∴13×$\frac{2}{3}$q=3×$\frac{2}{3}$（1+q+q²），
整理得：3q²-10q+3=0，
解得：q=$\frac{1}{3}$或q=3（舍），
∴a_n=$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=2•$\frac{1}{{3}^{n}}$；
（Ⅱ）由（I）可知S_n+1=$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n+1}}）}{1-\frac{1}{3}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
则b_n=log₃（1-S_n+1）=log₃（1-1+$\frac{1}{{3}^{n+1}}$）=-（n+1），
∵$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$，
∴$\frac{n}{2（n+2）}$=$\frac{25}{51}$，
解得：n=100．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．