Question

17．设函数$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx，x∈[{0，2π}]$，若0＜a＜1，则方程f（x）=a的所有根之和为（　　）

• A． $\frac{4π}{3}$
• B． 2π
• C． $\frac{8π}{3}$
• D． 3π

Answer 1

分析 先进行化简函数f（x），利用三角函数的对称性进行求解即可．

解答 解：由辅助角公式得$f（x）=2sin（{x+\frac{π}{6}}）$，
∵x∈[0，2π]，∴f（x）∈[-2，2]，
∵0＜a＜1，∴方程f（x）=α有两根x₁，x₂，
由对称性，有$\frac{{（{{x_1}+\frac{π}{6}}）+（{{x_2}+\frac{π}{6}}）}}{2}=\frac{3π}{2}$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{8π}{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查三角函数根的求解和应用，利用辅助角公式结合三角函数的对称性是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．