Question

11．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxsin（$\frac{π}{2}$-x）+2cos²x+a的最大值为3．
（Ⅰ）求f（x）的对称轴方程和a的值；
（Ⅱ）试讨论函数f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]上的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1，由已知最值可得a=0，解2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得对称轴方程；
（Ⅱ）解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得单调递增区间，和已知区间取交集可得单调递增区间，同时可得单调递减区间．

解答 解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=2$\sqrt{3}$sinxsin（$\frac{π}{2}$-x）+2cos²x+a
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x+a=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+a+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1，
∵函数的最大值为3，∴2+a+1=3，解得a=0，故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，故f（x）的对称轴方程为x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
∴函数f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的单调递减．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的对称性和单调性最值，属中档题．