Question

已知函数f（x）=x²+2x+a•lnx．
（1）若函数f（x）在区间（0，1]上恒为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）由f（x）=x²+2x+a•lnx，得，
要使f（x）在（0，1]上恒为单调函数，只需f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，1]上恒成立．
∴只需a≥-（2x²+2x），或a≤-（2x²+2x）在（0，1]上恒成立．
记g（x）=-（2x²+2x），
∵0＜x≤1，
∴-4≤g（x）＜0，
∴a≤-4，或a≥0．（5分）
（2）∵f（x）=x²+2x+a•lnx，
∴由f（2t-1）≥2f（t）-3，得
（2t-1）²+2（2t-1）+a•ln（2t-1）≥2（t²+2t+alnt）-3，
化简得2（t-1）²≥，
∵t＞1时有t²＞2t-1＞0，即，
则，∴，①-------------（7分）
构造函数h（x）=ln（x+1）-x，x＞-1，则，
∴h（x）在x=0处取得极大值，也是最大值．
∴h（x）≤h（0）在x＞-1范围内恒成立，而h（0）=0，
从而ln（1+x）≤x在x＞-1范围内恒成立．
∴在t＞1时，ln=ln[1+≤＜（t-1）²，
而t=1时，=（t-1）²=0，
∴当t≥1时，≤（t-1）²恒成立，
即t≥1时，总有，②
由式①和式②可知，实数a的取值范围是a≤2．（12分）
分析：（1）由f（x）=x²+2x+a•lnx，得，要使f（x）在（0，1]上恒为单调函数，只需f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，1]上恒成立．由此能求出实数a的取值范围．
（2）由f（x）=x²+2x+a•lnx，知f（2t-1）≥2f（t）-3，故2（t-1）²≥，t＞1时，，所以，构造函数h（x）=ln（x+1）-x，x＞-1，则，由此能够求出实数a的取值范围．
点评：本题考查实数a的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，注意导数在求解函数最值时的灵活运用．