Question

【题目】已知函数有两个零点，，且.

（1）求的取值范围；

（2）证明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）首先求出函数的导函数，令，即可求出函数的最小值，要使函数有两个零点则，即可求出参数的取值范围，再验证即可；

（2）由得，令，则，是与交点横坐标.求出的导数，即可求出的单调性与最值，得到，再构造函数，证明其单调性从而得证；

（1），由得，

当时，，即在上单调递增；

当时，，即在上单调递减；

在处取得最小值，解得.

，，在上有1个零点；

，，，令，则，，，

，在上有1个零点，

综上，的取值范围是.

（2）由得，令，则，是与交点横坐标.

，当时，，在上是减函数，在上是增函数，

在处取得最小值，，

设，，是减函数，

，，

，，

、，在上递减，，即.