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    如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设
    a
    =
    AB
    ，
    b
    =
    AD
    ，
    c
    =A
    M
    ，试以
    a
    ，
    b
    ，
    c
    为基向量表示出向量
    BN
    ，并求BN的长．
    考点：点、线、面间的距离计算
    专题：空间位置关系与距离
    分析：由已知条件推导出
    BN
    =
    1
    2
    (
    BC
    +
    BM
    )    =-
    1
    2
    a
    +
    1
    2
    b
    +
    1
    2
    c
    ．由已知条件知|
    a
    |=|
    b
    |=2，|
    c
    |=3，
    a
    •
    b
    =0，
    a
    •
    c
    =
    b
    •
    c
    =3，由此利用
    BN
    2    =（-
    1
    2
    a
    +
    1
    2
    b
    +
    1
    2
    c
    ）2能求出BN的长．
    解答： 解：∵N是CM的中点，设
    a
    =
    AB
    ，
    b
    =
    AD
    ，
    c
    =A
    M
    ，
    底面ABCD是边长为2的正方形，
    ∴
    BN
    =
    1
    2
    (
    BC
    +
    BM
    )
    =
    1
    2
    (
    AD
    +
    BA
    +
    AM
    )
    =-
    1
    2
    a
    +
    1
    2
    b
    +
    1
    2
    c
    ．
    ∵在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，
    侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60°，
    ∴|
    a
    |=|
    b
    |=2，|
    c
    |=3，
    a
    •
    b
    =0，
    a
    •
    c
    =2×3×cos60°=3，
    b
    •
    c
    =2×3×cos60°=3，
    ∴
    BN
    2    =（-
    1
    2
    a
    +
    1
    2
    b
    +
    1
    2
    c
    ）2
    =1+1+
    9
    4
    -
    1
    2
    ×3    +
    1
    2
    ×3    =
    17
    4
    ，
    ∴|
    BN
    |=
    		17
    2
    ，即BN的长为
    		17
    2
    ．
    点评：本题考查向量的表示和线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知单位向量
    i
    ，
    j
    ，
    k
    两两所成的夹角均为θ（0＜θ＜π，且θ≠
    π
    2
    ），若空间向量
    a
    满足
    a
    =x
    i
    +y
    j
    +z
    k
    （x，y，z∈R），则有序实数对（x，y，z）称为向量
    a
    在“仿射”坐标系Oxyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作
    a
    =（x，y，z）θ．有下列命题：
    ①已知
    a
    =（2，0，-1）θ，
    b
    =（1，0，2）θ，则
    a
    •
    b
    =0；
    ②已知
    a
    =(x，y，0)
    π
    3
    ，
    b
    =(0，0，z)
    π
    3
    ，其中xyz≠0，则当且仅当x=y时，向量
    a
    •
    b
    的夹角取得最小值；
    ③已知
    a
    =（x1，y1，z1）θ，
    b
    =（x2，y2，z2）θ，则
    a
    -
    b
    =(x1-x2，y1-y2，z1-z2)θ    ；
    ④已知
    OA
    =(1，0，0)
    π
    3
    ，
    OB
    =(0，1，0)
    π
    3
    ，
    OC
    =(0，0，1)
    π
    3
    ，则三棱锥O-ABC体积为V=
    		2
    12
    ．
    其中真命题有
     
    （填写真命题的所有序号）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于平面α和两条不同的直线m，n，下列命题是真命题的是（　　）
    A、若m⊥α，n⊥α，则m∥n
    B、若m∥α，n∥α则m∥n
    C、若m⊥α，m⊥n则n∥α
    D、若m，n与α所成的角相等，则m∥n

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知集合U=R，集合A={x|-l≤x≤3}，集合B=|x|log2x＜2}，则A∩B=（　　）
    A、{x|1≤x≤3}
    B、{x|-1≤x≤3}
    C、{x|0＜x≤3}
    D、{x|-1≤x＜0}

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =（m，n），
    b
    =（cosx，sinx），函数f（x）=
    a
    •
    b
    -2．
    （1）设m=n=1，x为某三角形的内角，求f（x）=-1时x的值；
    （2）设m=4，n=3，当函数f（x）取最大值时，求cos2x的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如图所示，列出乙的得分统计表如下：
    分值[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）
    场数10204030
    （Ⅰ）估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率；
    （Ⅱ）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定；（结论不要求证明）
    （Ⅲ）在甲所进行的100场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分，试计算甲每场比赛的平均得分．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），对定义域内的任意x，满足f（x）+f（-x）=0，当x＜-1时，f(x)=
    1+ln(-x-1)
    x+a
    （a为常），且x=2是函数f（x）的一个极值点，
    （Ⅰ）求实数a的值；
    （Ⅱ）如果当x≥2时，不等式f(x)≥
    m
    x
    恒成立，求实数m的最大值；
    （Ⅲ）求证：n-2(
    1
    2
    +
    2
    3
    +
    3
    4
    +…+
    n
    n+1
    )＜ln(n+1)    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设f1（x）=
    2
    1+x
    ，若fn+1（x）=f1[fn（x）]，an=
    fn(0)-1
    fn(0)+2
    ，其中n∈N*．
    （1）求a1；
    （2）求证：{an}为等比数列，并求其通项公式；
    （3）若T2n=a1+2a2+3a3+…2na2n，Qn=
    4n2+n
    36n2+36n+9
    ．其中n∈N*，试比较T2n与Qn的大小，并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    执行如图所示的程序框图，则输出的n值是
     
    ．

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