【题目】如图,在四棱锥中,底面为菱形,底面,,,为棱的中点,为棱的动点.
(1)求证:平面;
(2)若二面角的余弦值为,求点的位置.
【答案】(1)证明见解析;(2)点为线段的中点.
【解析】
(1)分析出是等边三角形,由三线合一得出,由,由,由底面,可得出,然后利用直线与平面垂直的判定定理可得出平面;
(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,设,计算出平面和平面的法向量、,由计算出实数的值,即可确定点的位置.
(1)如下图所示,由于四边形是菱形,则,
又,是等边三角形,为的中点,,
,.
底面,平面,,
,、平面,平面;
(2)由(1)知,,且底面,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,
则点、、、,设,
则,,,
设平面的一个法向量为,
由,即,得,
取,则,,则平面的一个法向量为.
同理可得平面的一个法向量为,
由题意可得,解得.
因此,当点为线段的中点时,二面角的余弦值为.
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【题目】某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0,1,2,3,将这个玩具抛掷次,记第次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为,数列的前和为.记是3的倍数的概率为.
(1)求,;
(2)求.
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【题目】
在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(a为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为.
(1)求C的普通方程和l的倾斜角;
(2)设点,l和C交于A,B两点,求.
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【题目】如图,设抛物线的焦点为,是抛物线上一点,过点的切线与轴相交于点,是线段的中点.直线交抛物线于另一点.
(1)求证:垂直于轴;
(2)求面积的取值范围.
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【题目】“微信运动”已成为当下热门的运动方式,小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”,他随机选取了其中的40人(男、女各20人),记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:
步数 性别 | 0-2000 | 2001-5000 | 5001-8000 | 8001-10000 | >10000 |
男 | 1 | 2 | 3 | 6 | 8 |
女 | 0 | 2 | 10 | 6 | 2 |
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
附:
(1)已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”,否则为“懈怠型”,根据题意完成下面的列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
积极型 | 懈怠型 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
(2)若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布,现从小王的所有微信好友中任选2人,其中每日走路不超过5000步的有人,超过10000步的有人,设,求的分布列及数学期望.
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【题目】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB=bsin(A+).
(1)求A;
(2)若b,a,c成等差数列,△ABC的面积为2,求a.
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【题目】在直角三角形中,、分别在线段、上,.沿着将折至如图,使.
(1)若是线段的中点,试在线段上确定点的位置,使面;
(2)在(1)条件下,求与平面所成角的正弦值.
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【题目】足球起源于中国东周时期的齐国,当时把足球称为“蹴鞠”.汉代蹴鞠是训练士兵的手段,制定了较为完备的体制.如专门设置了球场,规定为东西方向的长方形,两端各设六个对称的“鞠域”,也称“鞠室”,各由一人把守.比赛分为两队,互有攻守,以踢进对方鞠室的次数决定胜负.1970年以前的世界杯用球多数由举办国自己设计,所以每一次球的外观都不同,拼块的数目如同掷骰子一样没准.自1970年起,世界杯官方用球选择了三十二面体形状的足球,沿用至今.如图Ⅰ,三十二面体足球的面由边长相等的12块正五边形和20块正六边形拼接而成,形成一个近似的球体.现用边长为的上述正五边形和正六边形所围成的三十二面体的外接球作为足球,其大圆圆周展开图可近似看成是由4个正六边形与4个正五边形以及2条正六边形的边所构成的图形的对称轴截图形所得的线段,如图Ⅱ,则该足球的表面积约为( )
参考数据:,,,
A.B.C.D.
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