Question

已知函数f(x)=sinx-xcosx+

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2

，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）不等式f(x)＜

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3

x3+a在区间（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，令导函数大于0求出x的范围即单调递增区间；令导函数小于0求出x的范围即单调递减区间
（2）构造函数g（x），求出g（x）的导函数，再构造函数h（x），求出h（x）的导函数，判断出h（x）的符号，求出h（x0的最大值，进一步求出g（x）的符号，判断出g（x）的取值范围，求出a的范围．

解答：解：函数f（x）的定义域为R，
f′（x）=cosx-[cosx+x（-sinx）]=xsinx
当2kπ＜x＜2kπ+π，或2kπ-π＜x＜2kπ（k∈z）时f'（x）＞0
当2kπ+π＜x＜2kπ+2π，或2kπ-2π＜x＜2kπ-π，（k∈Z，）时f'（x）＜0
所以f（x）增区间为[2kπ，2kπ+π]，[2kπ-π，2kπ]（k∈Z，）
f（x）的减区间为[2kπ+π，2kπ+2π]，[2kπ-2π，2kπ-π]（k∈z）
（2）不等式f(x)＜

1

3

x3+a在区间（0，+∞）上恒成立
所以a＞f(x)-

1

3

x3在区间（0，+∞）上恒成立
设g(x)=f(x)-

1

3

x3=sinx-xcosx+

1

2

-

1

3

x3(x＞0)
则g'（x）=-x²+xsinx=x（sinx-x）
设h（x）=sinx-x（x＞0），
则h'（x）=-cosx-1≤0
所以h（x）在区间（0，+∞）为减函数
h（x）=sinx-x＜h（0）=0
∴g′（x）＜0
所以g（x）在区间（0，+∞）为减函数，
∴g(x)＜g(0)=

1

2

所以a≥

1

2

点评：利用等式求函数的单调区间，先求出导函数，令导函数大于0求出x的范围即为单调递增区间；令导函数小于0得到x的范围即为单调递减区间；解决不等式恒成立问题，一般先分离参数，通过构造新函数，通过导数求出函数的最值，进一步求出参数的范围．