Question

已知函数f（x）=

1

a

-

1

x

（a＞0，x＞0）
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求实数a的取值范围；
（3）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的值域

专题：综合题,转化思想,函数的性质及应用

分析：（1）由增函数的定义直接证明即可得出；
（2）由题设，本题可转化为

1

a

-

1

x

=x有两个根，即ax²-x+a=0有两个不等根，由此利用判别式得到a的不等式，解之即可；
（3）f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，可转化为2ax²-x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，由此可得a＞0，再判断出函数f（x）=2ax²-x+a在（0，+∞）上的最小值，令其大于等于0，解此不等式即可得出．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则
f(x1)-f(x2)=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）由（1），f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），
∴

1 a - 1 m =m 1 a - 1 n =n

，即

1

a

-

1

x

=x有两个根，即ax²-x+a=0有两个不等根，
∴△=1-4a²＞0，解得-

1

2

＜a＜

1

2

，
实数a的取值范围为-

1

2

＜a＜

1

2

．
（3）f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，即

1

a

-

1

x

≤2x在（0，+∞）上恒成立，即2ax²-x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，可得a＞0
所以其对称轴为x=

1

4a

＞0
由相应二次函数的性质得x=

1

4a

时，2ax²-x+a≥0成立即可，
∴2a(

1

4a

)2-

1

4a

+a≥0，解得a≥

2

4

或a≤-

2

4

（舍），
故a的取值范围是a≥

2

4

点评：本题考查函数恒成立问题的一般转化方法，函数单调性的证明，二次函数的性质，转化的思想，最值的应用，综合性强．