Question

6．等差数列{a_n}的首项a₁=$\frac{1}{2}$，前三项和为$\frac{9}{2}$，点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在函数y=log₃2x的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=3^b_n+2ⁿ，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出等差数列的首项与通项公式，即可求解数列{a_n}的通项公式，利用P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在函数y=log₃2x的图象上即可求解{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）化简c_n=3^b_n+2ⁿ，利用等差数列以及等比数列求和公式求解数列{c_n}的前n项和S_n．

解答 解：（ I）等差数列{a_n}的首项a₁=$\frac{1}{2}$，前三项和为$\frac{9}{2}$，a₂=$\frac{3}{2}$，
等差数列{a_n}的首项a₁=$\frac{1}{2}$，公差d=1，故a_n=n-$\frac{1}{2}$，
即数列{a_n}的通项公式为：a_n=n-$\frac{1}{2}$；
点P_n（a_n，b_n）在函数y=log₃2x的图象上，则b_n=log₃2a_n=log₃（2n-1），
即数列{b_n}的通项公式为b_n=log₃（2n-1），．
（ II）c_n=3^b_n+2ⁿ=2n-1+2ⁿ，
S_n=（1+3+5+…+（2n-1））+（2¹+2²+…+2ⁿ）=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=n²+2ⁿ⁺¹-2，
数列{c_n}的前n项和S_n=n²+2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查数列与函数的综合应用，等差数列以及等比数列的通项公式以及数列求和的基本方法的应用，考查计算能力．