Question

【题目】已知函数

（1）证明：当时， ；

（2）若当时， ，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析函数单调性变化规律，确定函数最小值为，即证得结论（2）先讨论分母正负，化分式为整式，再求导数，由于，所以必须为增函数，根据单调性讨论可得实数的取值范围.

试题解析：（1）当时， ，

则，令，解得

当时， ，∴在上是减函数；

当时， ，∴在上是增函数；

故在处取得最小值，即.

（2）由已知，∴.

（i）当时，若，则，此时，不符合题设条件；

（ii）当时，若，

令，则

而.

①当时，由（1）知， ，即，

它等价于，

∴

此时在上是增函数，

∴，即.

②当时，由（1）知， ，∴

∴

当时， ，此时在上是减函数，

∴，即，不符合题设条件.

综上: .