Question

已知数列{a_n}的前三项与数列{b_n}的前三项对应相同，且a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n，对任意n∈N^*都成立，数列{b_n-1-b_n}是等差数列，则数列{b_n}的通项公式为

b_n=n²-7n+14

．

Answer 1

分析：由已知式子可得a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n-1=8（n-1），两式相减可得a_n=2^4-n，进而可得b_n+1-b_n=2n-6，累加法可得答案．

解答：解：∵a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n（n∈N^*）①
∴当n≥2时，a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n-1=8（n-1）（n∈N^*）②
①-②得2^n-1a_n=8，解得a_n=2^4-n，
在①中令n=1，可得a₁=8=2^4-1，∴a_n=2^4-n（n∈N^*）
由题意b₁=8，b₂=4，b₃=2，∴b₂-b₁=-4，b₃-b₂=-2，
∴数列{b_n+1-b_n}的公差为-2-（-4）=2，
∴b_n+1-b_n=-4+（n-1）×2=2n-6，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=8+（-4）+（-2）+…+（2n-8）=n²-7n+14
故答案为：b_n=n²-7n+14

点评：本题考查数列的通项公式，涉及累加法的应用．