Question

【题目】已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：

①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；

②f（1）＝1；

③当x1，x2∈[0，1]，且x1＋x2∈[0，1]时，f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．称这样的函数为“友谊函数”．

请解答下列各题：

（1）已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值；

（2）函数g（x）＝2x－1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？请给出理由；

（3）已知f（x）为“友谊函数”，假定存在x0∈[0，1]，使得f(x0)∈[0，1]，且f[f(x0)]＝x0，求证： f(x0)＝x0．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）是，理由详见解析；（3）详见解析．

【解析】

（1）令x1＝1，x2＝0，得到f（0） ≤ 0，得到答案.

（2）计算得到，故g(x1＋x2) ≥ g(x1)＋g(x2)，g（1）＝1，得到答案.

（3）取0≤ x1< x2 ≤1，则0< x2－x1≤1，得到f(x2) ≥ f(x1)，假设f(x0) ≠ x0，计算得出矛盾，得到答案.

（1）令x1＝1，x2＝0，则x1＋x2＝1∈[0，1]．

由③，得f（1） ≥ f（0）＋f（1），即f（0） ≤ 0，

又由①，得f（0） ≥ 0，所以f（0）＝0．

（2）g（x）＝2x－1是友谊函数．

任取x1，x2∈[0，1]，x1＋x2∈[0，1]，有，则，故， 即g(x1＋x2) ≥ g(x1)＋g(x2)．

又g（1）＝1，故g（x）在[0，1]上为友谊函数．

（3）取0≤ x1< x2 ≤1，则0< x2－x1≤1．因此f(x2) ≥ f(x1)＋f(x2－x1) ≥ f(x1)，

假设f(x0) ≠ x0，若f(x0) > x0，则f[f(x0)] ≥ f(x0) > x0；若f(x0) < x0，则f[f(x0)] ≤ f(x0) < x0.

都与题设矛盾，因此f(x0)＝x0．