【题目】已知椭圆的两个焦点分别为
,且椭圆
经过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点的直线
与椭圆
交于
、
两点,点
是线段
上的点,且
,求点
的轨迹方程.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题设条件结合椭圆的定义与性质直接求出,
的值,即可求出椭圆
的方程;(Ⅱ)先讨论直线
斜率不存在的情况,求出
点的坐标,再根据斜率存在设过点
的直线
的方程,设与椭圆
交于
两点的坐标,将直线方程与椭圆方程联立方程组,消去
,得到关于
的一元二次方程,由于两曲线交于两点,故判断式大于0且可利用根与系数的关系建立
两点的坐标与直线的斜率的等量关系,再设出
点的坐标,用两点
的坐标表示出
,然后综合计算即可求得
点的轨迹方程.
试题解析:(Ⅰ)∵
,∴
.
又由已知,所以椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)设点的坐标为
.
(1)当直线与
轴垂直时,直线
与椭圆
交于
两点,此时
点坐标为
(2)当直线与
轴不垂直时,设直线
的方程为
.
∵在直线
上,∴设点
的坐标分别为
,则
,
.又
.
由,得
,
即 ①
将代入
中,得
②
由,得
.
由②知, ,
,
代入①中并化简,得 ③
∵点在直线
上,
∴,代入③中并化简,得
.
由③及,可知
,即
.
又满足
,故
.
由题意, 在椭圆
内部,所以
,又由
有
且
,则
.
所以点的轨迹方程是
,其中,
,
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【题目】设函数 (x∈R),其中t∈R,将f(x)的最小值记为g(t).
(1)求g(t)的表达式;
(2)当﹣1≤t≤1时,要使关于t的方程g(t)=kt有且仅有一个实根,求实数k的取值范围
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【题目】已知函数f(x)=cos(2x+ )+1,△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c.
(1)若角A、B、C成等差数列,求f(B)的值;
(2)若f( ﹣
)=
,边a、b、c成等比数列,△ABC的面积S=
,求△ABC的周长.
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【题目】如图,点P(0,﹣1)是椭圆C1: =1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径,l1 , l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)求△ABD面积的最大值时直线l1的方程.
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【题目】如图,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC
(1)证明:A1C⊥平面BED;
(2)求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值.
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【题目】已知分别是焦距为
的椭圆
的左、右顶点,
为椭圆
上非顶点的点,直
线的斜率分别为
,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线(与
轴不重合)过点
且与椭圆
交于
两点,直线
与
交于点
,试求
点的轨迹是否是垂直
轴的直线,若是,则求出
点的轨迹方程,若不是,请说明理由.
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【题目】已知等比数列{an}满足2a1+a3=3a2 , 且a3+2是a2 , a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an+log2 ,Sn=b1+b2+…bn , 求使 Sn﹣2n+1+47<0 成立的正整数n的最小值.
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【题目】《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样一道题:把120个面包分成5份,使每份的面包数成等差数列,且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍,则最少的那份有( )个面包.
A.4
B.3
C.2
D.1
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