Question

【题目】如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC

（1）证明：A1C⊥平面BED；
（2）求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A1（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1）

， ， ，

∵ ，

，

∴ ， ，

∴A1C⊥平面BED

（2）解：∵ ， ，

设平面A1DE的法向量为 ，

由 及 ，

得﹣2x+2y﹣3z=0，﹣2x﹣4z=0，

取

同理得平面BDE的法向量为 ，

∴cos＜ ＞= = =﹣ ，

所以二面角A1﹣DE﹣B的余弦值为

【解析】（1）以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则 ， ， ，由向量法能证明A1C⊥平面BED．（2）由 ， ，得到平面A1DE的法向量 ，同理得平面BDE的法向量为 ，由向量法能求出二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．