Question

【题目】已知曲线Cx2﹣y2=1及直线l：y=kx﹣1．
（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为 ，求实数k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 消去y，得（1﹣k2）x2+2kx﹣2=0．

∵l与C左支交于两个不同的交点

∴ 且 x1+x2=﹣ ＜0，x1x2=﹣ ＞0

∴k的取值范围为 （﹣ ，﹣1）

（2）解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），

由（1）得 x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ．

又l过点D（0，﹣1），

∴S△OAB= |x1﹣x2|= ．

∴（x1﹣x2）2=（2 ）2，即（﹣ ）2+ =8．

∴k=0或k=±

【解析】（1）将直线与双曲线联立，利用l与C左支交于两个不同的交点，结合韦达定理，建立不等式，从而可求实数k的取值范围；（2）利用韦达定理，结合△AOB的面积为 ，可建立k的方程，从而可求实数k的值．