Question

【题目】已知函数．

（1）求函数在区间上的最大值；

（2）若是函数图像上不同的三点，且，试判断与之间的大小关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）；（2），证明见解析．

【解析】试题分析：（1），分三种情况讨论函数的单调性，进而分别求得其在时的最大值； (2 )分别求出与用表示，做差后得关于的函数，利用导数证明其大于零即可得结果.因为与在函数图象上，所以把和的坐标分别代入函数解析式中得

试题解析：（1），

当时， 时， ， ，

当时， 时， ， ，

当时，由，得， ，又，则有如下分类：

①当，即时， 在上是增函数，

所以.

②当，即时， 在上是增函数，

在上是减函数，

所以

③当，即时， 在上是减函数，

所以

综上，函数在上的最大值为

（2）

，

令， ， ，

所以在上是增函数，又，

当时， ， ， ，故

当时， ， ， ，故

综上知， .

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.