Question

【题目】已知函数f（x）=log4（2x+3﹣x2）．
（1）求f（x）的定义域及单调区间；
（2）求f（x）的最大值，并求出取得最大值时x的值；
（3）设函数g（x）=log4[（a+2）x+4]，若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令2x+3﹣x2＞0，

解得：x∈（﹣1，3），

即f（x）的定义域为（﹣1，3），

令t=2x+3﹣x2，

则y=log4t，

∵y=log4t为增函数，

x∈（﹣1，1]时，t=2x+3﹣x2为增函数；

x∈[1，3）时，t=2x+3﹣x2为减函数；

故f（x）的单调增区间为（﹣1，1]；f（x）的单调减区间为[1，3）

（2）解：由（1）知当x=1时，t=2x+3﹣x2取最大值4，

此时函数f（x）取最大值1

（3）解：若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，

则2x+3﹣x2≤（a+2）x+4在x∈（0，3）上恒成立，

即x2+ax+1≥0在x∈（0，3）上恒成立，

即a≥﹣（x+ ）在x∈（0，3）上恒成立，

当x∈（0，3）时，x+ ≥2，则﹣（x+ ）≤﹣2，

故a≥﹣2

【解析】（1）令2x+3﹣x2＞0，可得函数的定义域，利用复合函数“同增异减”的原则，可得函数f（x）的单调区间；（2）由（1）中函数的单调性，可得当x=1时，函数f（x）取最大值1；（3）若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x+ ）在x∈（0，3）上恒成立，解得实数a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解复合函数单调性的判断方法的相关知识，掌握复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”．