Question

【题目】已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.

(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；

(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) a＝1±.

【解析】试题分析：（1）将分离，可得(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，对任意实数成立，则，即可求出定点坐标；（2）将圆的方程化为标准方程，由题意可将两圆关系分为外切和内切，分别求出的值.

试题解析：(1)证明：圆的方程可整理为(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，

此方程表示过圆x2＋y2－20＝0和直线－4x＋2y＋20＝0交点的圆系．

由得

∴已知圆恒过定点(4，－2)．

(2)圆的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2.

①当两圆外切时，d＝r1＋r2，

即，

解得a＝或a＝ (舍去)；

②当两圆内切时，d＝|r1－r2|，

即，

解得a＝或a＝ (舍去)．

综上所述，a＝.