【题目】如图1,在矩形ABCD中, ,点
分别在边
上,且
,
交
于点
.现将
沿
折起,使得平面
平面
,得到图2.
(Ⅰ)在图2中,求证: ;
(Ⅱ)若点是线段
上的一动点,问点
在什么位置时,二面角
的余弦值为
.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:(1)先证明 ,再证明
,证明
平面
,从而可得
;
(2)建立直角坐标系,设,求出平面
、平面
的一个法向量,利用向量的夹角公式,结合二面角
的余弦值为
,即可得出结论.
试题解析:(Ⅰ)∵在矩形中,
,
,
∴, ∴
即
.
∴在图2中, ,
.
又∵平面平面
,平面
平面
,
∴平面
, ∴
,
依题意, ∥
且
,∴四边形
为平行四边形.
∴∥
, ∴
, 又∵
,
∴平面
, 又∵
平面
, ∴
.
(Ⅱ)如图1,在中,
,
,
∵∥
,
,∴
.
如图,以点
为原点建立平面直角坐标系,则
,
,
,
,
∴,
,
,
∵,∴
平面
,
∴为平面
的法向量.
设,则
,
设为平面
的法向量,则
即
,可取
,
依题意,有,
整理得,即
,∴
,
∴当点在线段
的四等分点且
时,满足题意.
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【题目】已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0.
(1)当该方程的一个根为1时,求a的值及该方程的另一根;
(2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
(3)设该方程的两个实数根分别为x1 , x2 , 若2(x1+x2)+x1x2+10=0,求a的值.
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【题目】集合A={x|3≤x<9},B={x|1<x<7},C={x|x>m}.
(1)求A∪B;
(2)求(RA)∩B;
(3)若BC,求实数m的取值范围.
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【题目】已知椭圆的离心率
,两焦点分别为
,右顶点为
,
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设过定点的直线
与双曲线
的左支有两个交点,与椭圆
交于
两点,与圆
交于
两点,若
的面积为
,
,求正数
的值.
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【题目】已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组,参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》.活动共有四关,若四关都闯过,则闯关成功,否则落水失败.设男生闯过一至四关的概率依次是,女生闯过一至四关的概率依次是
.
(Ⅰ)求男生甲闯关失败的概率;
(Ⅱ)设表示四人冲关小组闯关成功的人数,求随机变量
的分布列和期望.
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【题目】某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表:
(1)求关于的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,当价格元
时,日需求量
的预测值为多少?
参考公式:线性归回方程: ,其中
,
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【题目】现有5名男司机,4名女司机,需选派5人运货到吴忠.
(1)如果派3名男司机、2名女司机,共有多少种不同的选派方法?
(2)至少有两名男司机,共有多少种不同的选派方法?
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【题目】某电子公司开发一种智能手机的配件,每个配件的成本是15元,销售价是20元,月平均销售件,通过改进工艺,每个配件的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果每个配件的销售价提高的百分率为
,那么月平均销售量减少的百分率为
,记改进工艺后电子公司销售该配件的月平均利润是
(元).
(1)写出与
的函数关系式;
(2)改进工艺后,试确定该智能手机配件的售价,使电子公司销售该配件的月平均利润最大.
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【题目】(Ⅰ)函数f(x)满足对任意的实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),且f(4)=2,求f( )的值; (Ⅱ)已知函数f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且f(x)在[﹣1,1]上递增,求不等式f(x+
)+f(x﹣1)<0
的解集.
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