Question

【题目】若P为椭圆 =1上任意一点，F1 ， F2为左、右焦点，如图所示．

（1）若PF1的中点为M，求证：|MO|=5﹣ |PF1|；
（2）若∠F1PF2=60°，求|PF1||PF2|之值；
（3）椭圆上是否存在点P，使 =0，若存在，求出P点的坐标，若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在△F1PF2中，MO为中位线，

∴|MO|= =

=a﹣ =5﹣ |PF1|

（2）解：∵|PF1|+|PF2|=10，

∴|PF1|2+|PF2|2=100﹣2|PF1||PF2|，

在△PF1F2中，cos 60°= ，

∴|PF1||PF2|=100﹣2|PF1||PF2|﹣36，

∴|PF1||PF2|= ．

（3）解：设点P（x0，y0），则 ．①

易知F1（﹣3，0），F2（3，0），故 =（﹣3﹣x0，﹣y0）， =（3﹣x0，﹣y0），

∵ =0，

∴x ﹣9+y =0，②

由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P不存在．

【解析】（1）在△F1PF2中，MO为中位线，根据三角形的中位线定理再结合椭圆的定义即可得出答案；（2）先利用椭圆的定义得到：|PF1|+|PF2|=10，再在△PF1F2中利用余弦定理得出cos 60°= ，两者结合即可求得|PF1||PF2|；（3）先设点P（x0 ， y0），根据椭圆的性质，易知F1（﹣3，0），F2（3，0），写出向量的坐标再结合向量垂直的条件得出关于P点坐标的方程组，由此方程组无解，故这样的点P不存在．
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．