Question

已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=l，BC=4，则边AC上的中线BD的长为

21

2

．

Answer 1

分析：取AC的中点D，连接BD，由三角形的三内角成等差数列，利用等差数列的性质得到2B=A+C，再根据三角形的内角和定理得到∠ABC的度数，进而得到sin∠ABC及cos∠ABC的值，在三角形ABC中，由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的值，进而由AC，AB及sin∠ABC的值，利用正弦定理求出sinC的值，由AB小于BC，得到∠C为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，在三角形BCD中，由BC，cosC及CD的值，利用余弦定理即可求出AC边上的中线BD的长．

解答：
解：取AC的中点D，连接BD，
∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C，又A+B+C=180°，
∴∠ABC=60°，AB=1，BC=4，
根据余弦定理得：AC=

AB2+BC2-2AC•BC•cosB

=

13

，
又根据正弦定理得：

AB

sinC

=

AC

sin∠ABC

，即sinC=

1× 3 2

13

=

39

26

，
又AB=1＜BC=4，∴∠C为锐角，
∴cosC=

1-sin2C

=

637

26

，
在△BCD中，BC=4，CD=

1

2

AC=

13

2

，
根据余弦定理得：BD=

BC2+CD2-2BC•CD•cosC

=

21

2

．
故答案为：

21

2

点评：此题考查了正弦、余弦定理，等差数列的性质，同角三角函数间的基本关系，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．