Question

【题目】如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE= ，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2BG=2．

（1）证明：AG∥平面BDE；
（2）求二面角E﹣BD﹣G的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE平面BCEG，

∴EC⊥平面ABCD．

根据题意以C为原点，CD，CB，CE分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），A（2，1，0）G（0，2，1）

设平面BDE的法向量为 =（x，y，z），

∵ ， =（2，0，﹣2），

∴ ，∴x=y=z，

∴平面BDE的一个法向量为 =（1，1，1），

∵ =（﹣2，1，1），∴ =﹣2+1+1=0，∴ ⊥ ，

∵AG平面BDE，

∴AG∥平面BDE

（2）解：设平面BDG的法向量为 =（x，y，z），

∵ =（2，﹣2，0）， =（0，0，1），

∴ ，

取x=1，得平面BDG的一个法向量为 =（1，1，0），

设二面角E﹣BD﹣G的平面角为θ，

则cosθ= = = ，

故二面角E﹣BD﹣G的余弦值为

【解析】（1）根据题意以C为原点，CD，CB，CE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AG∥平面BDE．（2）求出平面BDG的一个法向量和平面BDE的一个法向量，利用向量法能求出二面角E﹣BD﹣G的余弦值．
【考点精析】利用直线与平面平行的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．