Question

【题目】已知椭圆方程()的离心率为, 短轴长为2.

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 直线()与轴的交点为(点不在椭圆外), 且与椭圆交于两个不同的点. 若线段的中垂线恰好经过椭圆的下端点, 且与线段交于点, 求面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】

利用椭圆方程()的离心率为，短轴长为，求出，即可求得椭圆的标准方程

求出线段的中点的坐标，表示出的面积，运用导数求出最值

(1) , 因此椭圆的标准方程为.

(2) 易得点的坐标为, 点的坐标为. 设,的坐标分别为, .

联立, 得, 从而.

易知线段的中点的横坐标为,

纵坐标为.

因此, 点的坐标为.

由题意知: , 即, 从而.

因为直线与椭圆有两个不同的交点, 所以, 即. 从而有, 即. 又知, 因此. 由点不在椭圆之外知, . 综上知, .

故线段的长度可表示为, 点到线段的距离可表示为. 进而的面积可表示为

令, 则, 即在上单调递增.

从而,所以面积的最大值为.

注: 的面积也可用表示为 (), 关于单调递增, 从而, 所以,

所以面积的最大值为.