Question

【题目】已知函数 ，其中a∈R．
（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

∴f（﹣x）=﹣ax+log2（2﹣x+1）

=﹣ax+log2（2x+1）﹣log22x

=﹣ax+log2（2x+1）﹣x，

∴f（﹣x）=f（x），

即﹣ax﹣x=ax，

故a= ；此时函数为偶函数，

若a≠﹣ ，函数为非奇非偶函数

（2）解：∵a＞0，

∴ 单调递增，

又∵函数f（x）的反函数为f﹣1（x），

∴f﹣1（x）单调递增；

∴f（1）+f﹣1（1）=1+log23，

即a+log23+f﹣1（1）=1+log23，

故f﹣1（1）=1﹣a，

即a（1﹣a）+log2（2a﹣1+1）=1，

解得，a=1；

故f（2）=2+log25

【解析】（1）由 得f（﹣x）=﹣ax+log2（2x+1）﹣x，从而可得当a= 时函数为偶函数； （2）可判断 与f﹣1（x）都是增函数，从而可得f（1）+f﹣1（1）=1+log23，从而解出a．
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能正确解答此题．