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    【题目】已知函数是函数的反函数，函数的图像关于直线对称，记.

    （1）求函数的解析式和定义域﹔

    （2）在的图像上是否存在这样两个不同点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求A，B的坐标；若不存在，说明理由．

    【答案】（1），的定义域为；（2）不存在，两点，使与轴垂直．

    【解析】

    （1）先求出函数的反函数，即求出的解析式，然后求出 的定义域；（2）先求出函数的解析式，再设的图象上不同的两点，，，，且，推出，得为上的递减函数，故不存在，两点，使与轴垂直．

    （1）由得，，，

    因为函数的值域为，所以函数的定义域为.

    （2），，依题意得，，，

    ，定义域为，

    设的图象上不同的两点，，，，且，

    则

    ，

    ，则，，，，

    ，，

    ，

    故在上单调递减，

    故不存在，两点，使与轴垂直．

    练习册系列答案
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    A.
    B.
    C.
    D.

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    A.（0， ）∪（ ，+∞）
    B.（ ，1）∪（1， ）
    C.（0， ）∪（ ，+∞）
    D.（ ，1）∪（1， ）

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    【题目】已知函数 ，其中a∈R．
    （1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；
    （2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．

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    【题目】已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝.

    (1)当n∈N＋，求f(n)的表达式；

    (2)设an＝nf(n)，n∈N＋，求证：a1＋a2＋…＋an<2.

    【答案】（1）（2）见解析

    【解析】

    （1）利用f（x+y）=f（x）f（y）（x，y∈R）通过令x=n，y=1，说明{f（n）}是以f(1)＝为首项，公比为的等比数列求出；（2）利用（1）求出an=nf（n）的表达式，利用错位相减法求出数列的前n项和，即可说明不等式成立．

    (1)解：f(n)＝f[(n－1)＋1]

    ＝f(n－1)·f(1)＝f(n－1)．

    ∴当n≥2时，＝.

    又f(1)＝，

    ∴数列{f(n)}是首项为，公比为的等比数列，

    ∴f(n)＝f(1)·()n－1＝()n.

    (2)证明：由(1)可知，

    an＝n·()n＝n·，

    设Sn＝a1＋a2＋…＋an，

    则Sn＝＋2×＋3×＋…＋(n－1)·＋n·，①

    ∴Sn＝＋2×＋…＋(n－2)·＋(n－1)·＋n·.②

    ①－②得，

    Sn＝＋＋＋…＋－n·

    ＝－＝1－－，

    ∴Sn＝2－－<2.

    即a1＋a2＋…＋an<2.

    【点睛】

    本题考查数列与函数的关系，数列通项公式的求法和的求法，考查不等式的证明，裂项法与错位相减法的应用，数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.

    【题型】解答题
    【结束】
    22

    【题目】设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a (a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N＋.

    (1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；

    (2)若an＋1≥an，n∈N＋，求a的取值范围．

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    【题目】已知数列的前项和为，点在直线上；数列是等差数列，且，它的前9项和为153.

    （1）求数列的通项公式；

    （2）设，求证：数列的前项和.

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