Question

【题目】已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝.

(1)当n∈N＋，求f(n)的表达式；

(2)设an＝nf(n)，n∈N＋，求证：a1＋a2＋…＋an<2.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）利用f（x+y）=f（x）f（y）（x，y∈R）通过令x=n，y=1，说明{f（n）}是以f(1)＝为首项，公比为的等比数列求出；（2）利用（1）求出an=nf（n）的表达式，利用错位相减法求出数列的前n项和，即可说明不等式成立．

(1)解：f(n)＝f[(n－1)＋1]

＝f(n－1)·f(1)＝f(n－1)．

∴当n≥2时，＝.

又f(1)＝，

∴数列{f(n)}是首项为，公比为的等比数列，

∴f(n)＝f(1)·()n－1＝()n.

(2)证明：由(1)可知，

an＝n·()n＝n·，

设Sn＝a1＋a2＋…＋an，

则Sn＝＋2×＋3×＋…＋(n－1)·＋n·，①

∴Sn＝＋2×＋…＋(n－2)·＋(n－1)·＋n·.②

①－②得，

Sn＝＋＋＋…＋－n·

＝－＝1－－，

∴Sn＝2－－<2.

即a1＋a2＋…＋an<2.

【点睛】

本题考查数列与函数的关系，数列通项公式的求法和的求法，考查不等式的证明，裂项法与错位相减法的应用，数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.

【题型】解答题
【结束】
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a (a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N＋.

(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；

(2)若an＋1≥an，n∈N＋，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）bn＝ (a－3)2n－1（2）[－9，＋∞)．

【解析】

（Ⅰ）由题意可知bn＝Sn－3n，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n),bn+1=2bn，则{bn}是首项是a﹣3，公比为2的等比数列，即可求得数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）先求得数列an通项an＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，将数列表达式代入不等式an＋1≥an，得到a≥3－12·()n－2根据指数的单调性得到a的范围.

(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，

即Sn＋1＝2Sn＋3n，

由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即{Sn－3n}是以a－3为首项，以2为公比的等比数列．

因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N＋.①

(2)由①知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N＋，

于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝3n＋(a－3)×2n－1－3n－1－(a－3)×2n－2

＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，

an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2

＝2n－2[12·()n－2＋a－3]，

当n≥2时，an＋1≥an12·()n－2＋a－3≥0

a≥3－12·()n－2a≥－9.

又a2＝a1＋3>a1，

综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．