Question

【题目】设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|﹣a．
（1）若f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
（3）当a＞4时，求函数y=f（f（x）+a）零点的个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）在原点有定义，f（x）为奇函数；

∴f（0）=﹣a=0；

∴a=0

（2）解：f（x）=x|x﹣a|﹣a；

∴①若a＜2，则x=2时，f（x）在[2，3]上取得最小值f（2）=2（2﹣a）﹣a=4﹣3a；

∴4﹣3a≥0，a≤ ；

∴ ；

②若2≤a≤3，则x=a时，f（x）取得最小值f（a）=﹣a；

﹣a＜0，不满足f（x）≥0；

即这种情况不存在；

③若a＞3，则x=3时，f（x）取得最小值f（3）=3（a﹣3）﹣a=2a﹣9；

∴2a﹣9≥0，a ；

∴ ；

∴综上得a的取值范围为（﹣∞， ]∪[ ，+∞）

（3）解：f（x）+a=x|x﹣a|，令x|x﹣a|=t；

∴y=t|t﹣a|﹣a；

下面作出函数t=x|x﹣a|= 和函数y=t|t﹣a|﹣a= 的图象：

函数y=t|t﹣a|﹣a的图象可以认为由函数y=t|t﹣a|的图象向下平移a个单位得到；

显然函数y=t|t﹣a|﹣a的左边两个零点t=t1，t=t2都在（0，a）区间上，而通过t=x|x﹣a|的图象可看出：

∵ ，∴ ；

∴t1，t2分别有三个x和它对应；

∴这时原函数有6个零点；

由t（t﹣a）﹣a=t2﹣ta﹣a=0可以解出 ；

∴ ；

显然 ；

而（a2﹣2a）2﹣4（a2+4a）=a[a2（a﹣4）﹣16]；

显然a2（a﹣4）﹣16可能大于0，可能等于0，可能小于0；

∴t3可能和它对应的x个数为3，2，1；

∴此时原函数零点个数为3，2，或1；

∴原函数的零点个数为9个，8个，或7个

【解析】（1）根据f（0）=0即可求出a；（2）讨论a的取值：a＜2，2≤a≤3，a＞3，三种情况，求出每种情况下的f（x）的最小值，让最小值大于等于0从而求出a的取值范围；（3）代入f（x），原函数变成y=f（x|x﹣a|），这时候换元t=x|x﹣a|，y=t|t﹣a|﹣a．然后画出函数t=x|x﹣a|和函数y=t|t﹣a|﹣a的图象，通过图象找出有几个t使得y=t|t﹣a|﹣a=0，并找出对应的x的个数，从而找到原函数的零点个数．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．