Question

【题目】已知直角所在平面外一点，且为斜边的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求证：平面．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）如图，取中点，连结，在中，得到，再由为等腰三角形，得到，进而得到平面，得，再由，得到，由线面垂直的判定定理，即可得到结论．

（2）由为斜边中点，得，由（1）可知，面，得，再利用线面垂直的判定定理，即可证得平面．

（1）如图，取AB中点E，连结SE，DE，

在Rt△ABC中，D，E分别为AC、AB的中点，

∴DE∥BC，且DE⊥AB，

∵SA=SB，∴△SAB为等腰三角形，

∴SE⊥AB，又SE∩DE=E，

∴AB⊥平面SDE，∵SD?面SDE，∴AB⊥SD，

在△SAC中，∵SA=SC，D为AC中点，

∴SD⊥AC，

∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB=A，

∴SD⊥平面ABC．

（2）∵AB=BC，D为斜边AC中点，∴BD⊥AC，

由（1）可知，SD⊥面ABC，

而BD?面ABC，∴SD⊥BD，

∵SD⊥BD、BD⊥AC，SD∩AC=D，

∴BD⊥面SAC．