Question

18．不等式x²+（k-2）x+1≥0对x∈R恒成立，求实数k的取值范围[0，4]．

Answer 1

分析 通过讨论x的范围，结合基本不等式的性质求出k的范围即可．

解答 解：法一：①x=0时，1＞0成立，
②x＞0时，问题转化为：k≥2-（x+$\frac{1}{x}$）≥2-2=0，
当且仅当x=$\frac{1}{x}$即x=1时“=”成立，
③x＜0时，问题转化为：k≤2+[（-x）+$\frac{1}{-x}$]≤2+2=4，
当且仅当-x=$\frac{1}{-x}$即x=-1时，“=”成立，
综上，k的范围是[0，4]．
法二：不等式x²+（k-2）x+1≥0对x∈R恒成立
?△=（k-2）²-4≤0，解得：0≤k≤4，
故k的范围是：[0，4]．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查基本不等式的性质，是一道基础题．