Question

如图，在二面角α—l—β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点.

（1）求二面角α—l—β的大小；

（2）求证：MN⊥AB；

（3）求异面直线PA与MN所成角的大小.

Answer 1

答案：
解析：

（1）解：如图，连PD，由三垂线定理，PD⊥l，故∠ADP为二面角α—l—β的平面角，由PA＝AD得∠ADP＝45°； （2）证明：作NQ∥CD，则NQ＝CD＝AB，于是NQAM，AMNQ是平行四边形，故AQ∥MN，由AB⊥PA，AB⊥AD，有AB⊥平面APD，又AQ平面APD，从而AB⊥AQ，AB⊥MN； （3）解：PA与MN所成的角即是PA与AQ所成的角，因为∠PAQ为等腰直角三角形，AQ为斜边上的中线，所以∠PAQ＝45°，即PA与MN所成的角大小为45°.