Question

已知F₁，F₂为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，O是坐标原点，过F₂作垂直于x轴的直线MF₂交椭圆于M(

2

，1)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过左焦点F₁的斜率为1直线l与椭圆C交于A、B两点，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）由椭圆过定点可知c，把定点坐标代入椭圆方程，和a²=b²+c²联立后求解a²，b²的值，则答案可求；
（2）写出直线方程，和椭圆方程联立后求出两个焦点的坐标，利用两点间的距离公式求距离．

解答：解：（1）由题意可知：c=

2

．
又M(

2

，1)在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，
∴

2

a2

+

1

b2

=1．
联立

2 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2 c= 2

，解得

a2=4 b2=1

．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）由（1）知，左焦点F1(-

2

，0)．
则过左焦点F₁的斜率为1直线l的方程为y=x+

2

．
联立

y=x+ 2 x2 4 + y2 2 =1

，得

x1=0 y1= 2

，

x2=- 4 3 2 y2=- 2 3

．
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(- 4 2 3 )2+( 2 + 2 3 )2

=

8

3

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了利用两点间的距离公式求距离，是中档题．