Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，且3S₁，2S₂，S₃成等差数列
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设b_n=log₂a_n，求T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由题意可得q的方程，解方程可得q，可得通项公式；
（2）由（1）b_n=nlog₂3，由等差数列的求和公式可得．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
又∵a₁=3，且3S₁，2S₂，S₃成等差数列，
∴4（3+3q）=3×3+3+3q+3q²，
解得q=3，或q=0（舍去）
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=3×3^n-1=3ⁿ；
（2）由（1）b_n=log₂a_n=nlog₂3，
∴数列{b_n}为公差为log₂3的等差数列，
∴T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=-2log₂3（b₂+b₄+…+b_2n）
=-2log₂3

n(2log23+2nlog23)

2

=-2n（n+1）log²₂3

点评：本题考查等差数列和等比数列，涉及求和公式，属基础题．